算法简介

模拟退火算法是一种优化算法，该算法得益于材料统计力学的研究成果。统计力学表明材料中的粒子在高温条件下能量较高，可以自由运动和重新排列；在低温条件下，粒子能量较低，运动的剧烈程度也低。如果从高温开始非常缓慢地降温（退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡，当系统完全冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。

假设材料在状态$i$下的状态为$E(i)$，则材料在温度T时从状态$i$进入状态$j$遵循如下规律：

如果$E(j)\leq E(i)$，则接受该状态
如果$E(j)>E(i)$，则以概率$e^\frac{E(i)-E(j)}{KT}$接受该状态。其中$e$是自然对数的底数，$K$是玻尔兹曼常数，$T$是材料温度。

模拟退火算法需要确定优化目标，通过迭代的退火过程，得到最后的最优解。具体的算法步骤如下：

确定优化目标。优化目标通常是求一个或多个函数的最大值或最小值
任选一初始状态$s_0$作为初始解$s(0)=s_0$，并设初始温度为$T_0$，令$i$等于0
按某一种规定的方式对当前解$s(i)$扰动，产生一个新解$s’$
对新解$s’$进行评价
- 若新解$s’$优于当前解$s(i)$，则将其作为下一个当前解$s(i+1)$
- 否则依据概率$e^{-\frac{\Delta C}{T}}$接受该解，将其作为下一个当前解. $\Delta C$是优化目标函数值之差的绝对值
按一定方式将T降温，令$i=i+1$，$T_i=w(T_i)$
检查退火过程是否结束，若未结束则跳转到3，否则跳转到7
以当前解$s_i$作为最优解输出

需要注意：

模拟退火算法求得的最优解通常为近似解，并非精确解

该算法在每一次迭代中产生的新解$s’$是随机选择当前解的一个临近子集中的值，随机选择的范围与温度有关，因此并不能确保新解会命中精确的最优解。但随着迭代次数的提高与温度的降低，新解会不断靠近最优解。
模拟退火算法求得的最优解理论上为全局最优解

该算法在评价新解$s’$是否作为下一个当前解$s(i+1)$时，在新解$s’$未优于当前解$s(i)$的情况下并没有抛弃新解，而是依概率接受新解，这样可以确保每次迭代的解都能双向移动。概率与$s’$和$s(i)$优化程度的差值有关，也与当前温度有关。求出局部最优解的可能性仍然存在。

如上图，当前解为$x$时，若产生新解为$x_2$，尽管新解未优于当前解，但很明显全局最优解在$x$左侧，若直接舍弃$x_2$，则会导致新解的一直落在当前解的右侧，最终导致陷入局部最优解。

优化问题

单变量函数优化

问题：对于给定的$n$，求$\sqrt{n}$。

设$x$为$\sqrt{n}$的最优解，当$x^2$与$n$越接近，x的值就越精确。因此问题的优化目标如下：

$min\quad |x^2-n|$

初始温度设为$1000$，温度变化率设为$1\%$，最低温度边界为$10^{-5}$，初始最优解可以是定义域内的任意值，本文取$x_0=0$. 程序如下：

import random
import math  
# 定义优化目标函数
def opt_func(x, n):
    return math.fabs(x*x - n)
# 模拟退火算法
def SA(n):
    # 定义初始温度与温度边界
    tInit, tFinal = 1000, 1e-10 
    # 温度降低系数
    dt =  0.99    
    # 变量，初始值为随机值
    x = 0  
    # 函数值
    f = opt_func(x, n)
    t = tInit
    # 退火过程
    while t > tFinal:
        # 对变量进行干扰
        xNew = x + t * random.normalvariate(0, 1)
        # 确保变量在定义域中
        while xNew < 0:
            xNew = x + t * random.normalvariate(0, 1)
        fNew = opt_func(xNew, n)
        # 如果新解优于当前解，则将新解作为下一个当前解
        if fNew < f:
            x = xNew
            f = fNew
        # 否则按一定概率接受新解
        elif math.exp(-(fNew - f) / t) > random.random():
            x = xNew
            f = fNew
        # 降温
        t *= dt 
    print(x)
if __name__ == '__main__':
    SA(10)

当n取10时，程序的结果为3.16227766，f非常接近$\sqrt{10}$。如果增加初始温度T，减小温度变化率dT和温度边界Tep可提升精度。但增加迭代次数将会导致算法时间开销增加。

多变量函数优化

多变量函数优化需要考虑对每一个变量都进行扰动，因此在每个温度状态下将新增一个内层循环。在内层循环的每次迭代过程中，既可以随机对某一变量进行扰动，其他变量不变；也可以对每个变量同时扰动。该过程是一个Markov过程，每个变量的取值仅与前一个变量的取值相关，内层循环的迭代次数为Markov链的长度。

以智能优化算法的标准测试函数Schwefel为例。Schwefel的形式为：

$f(x)=418.9829d-\sum_{i=1}^dx_i\sin(\sqrt{|x_i|})\quad x_i\in[-500,500]$

import numpy as np  
import random 
import math

class SA:
    def __init__(self, nVar):
        self.d = nVar 							#变量个数
        self.x = np.zeros((nVar))   			# 变量值
        self.f = self.optimize(self.x)   		# 优化函数值
        self.xMin = [-500 for i in range(nVar)] # 下限
        self.xMax = [500 for i in range(nVar)]  # 上限
        self.tInit = 1000						# 初始温度
        self.dt = 0.995							# 温度变化率
        self.tFinal = 1e-10						# 温度边界
        self.markov = 100 						# Markov链
    # 优化目标函数				
    def optimize(self, X):
        sum = 0.0
        for i in range(self.d):
            sum += X[i] * np.sin(np.sqrt(abs(X[i])))
        fx = 418.9829 * self.d - sum
        return fx
    # 退火过程
    def run(self):
        t = self.tInit
        # 新解
        xNew = np.zeros((self.d))
        while t > self.tFinal:
            for i in range(self.markov):
                # 对其中一个变量扰动，其它变量不变
                v = random.randint(0, self.d-1)
                xNew[v] = self.x[v] + t * ((self.xMax[v] - self.xMin[v])/self.tInit) * random.normalvariate(0, 1)
                while xNew[v] < self.xMin[v] or xNew[v] > self.xMax[v]:
                    xNew[v] = self.x[v] + t * ((self.xMax[v] - self.xMin[v])/self.tInit) * random.normalvariate(0, 1)
                fNew = self.optimize(xNew)
                # 当新解优于当前解，接受新解
                if fNew < self.f:
                    self.f = fNew
                    self.x[:] = xNew[:]
                # 否则以一定概率接受新解
                elif math.exp(-(fNew - self.f)/t) > random.random():
                    self.f = fNew
                    self.x[:] = xNew[:]
            # 降温
            t *= self.dt  
    def display(self):
        print(self.x)
        print(self.f)
if __name__ == '__main__':
    sa = SA(2)
    sa.run()
    sa.display()

当变量个数为2时，筛选出最优结果为：

1 2	[420.92878528 421.02752236] 0.000662878735056438

输出结果的值是随机的，但大部分围绕标准解波动。程序有时会输出偏差较大的值，说明此时的结果落在了局部最优解附近，这种情况与温度及其变化率的设置有关，也与对变量扰动的处理方法有关。该程序内层循环的每次迭代仅对一个变量进行扰动，且扰动幅度相同，这可能导致变量之间的偏差较大，从而偏离标准解。

约束条件的处理

此处所说的约束条件是指不同变量之间的约束关系，而非单个变量的上下限约束。

对于不等式约束条件，可在模拟退火算法的迭代过程中将每次产生的新解代入约束函数，如果满足约束条件则保留；如果不满足约束条件则舍弃该解并重新生成新解并检验，直到满足所有约束条件为止。对于等式约束，可以采用等式代换的方法进行消元，仅保留不等式约束，再按以上方法对新解进行检验。

这种检验法思路简单，但在约束条件繁多且苛刻的情况下，该方法的时间开销将会相当大。下文将介绍另一种通用的方法。

惩罚函数法

惩罚函数法（SUMT）又称为序列无约束最优化方法，它通过对约束条件加权将约束优化问题转化为无约束优化问题。

对于以下的约束优化问题：

$min\ f(X)\quad X=[x_1,x_2,...,x_n]\\\\\\ ~\\\\\\ s.t.\ \begin{cases} g_i(X)\leq 0 & i=1,2,...,m\\\\\\ h_j(X)=0 & j=1,2,...,l\\\\\\ r_k(X)\geq 0 & k=1,2,...,q \end{cases}$

根据惩罚函数法，将约束最优化问题转换为增广目标函数极小值问题：

$min\ F(X,M_t)=min\ \lbrace f(X)+M_t·(P_1(X)+P_2(X)+P_3(X))\rbrace \\\\\\ ~\\\\\\ P_1(X)=\sum_{i=1}^{m}[\max(g_i(X),0)]^2\\\\\\ P_2(X)=\sum_{j=1}^{l}[h_j(X)]^2\\\\\\ P_3(X)=\sum_{k=1}^{q}[\min(0,r_k(X))]^2\\\\\\$

其中$\lbrace M_t\rbrace$为一单调增加正序列，即$M_10$，且随着$M_k$的增大而增大，这是对不满足约束条件时的一种惩罚。当$P(X)$充分小时$X(M_t)$将充分接近约束区域的边界，就可以认为$X(M_t)$是满足约束条件的最小点。

带约束条件的单目标优化

有非线性单目标目标优化如下：

$min\ f(X)=x_1x_4(x_1+x_2+x_3)+x_3\\\\\\ ~\\\\\\ s.t.\ \begin{cases} x_1x_2x_3x_4\geq25\\\\\\ {x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2=40\\\\\\ 1\leq x_1,x_2,x_3,x_4\leq 5 \end{cases}$

利用惩罚函数法，将约束条件转化为惩罚函数，其中定义$P_1(X)=(\min(x_1x_2x_3x_4-25,0))^2$，$P_2(X)=(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-40)^2$，此时构造新的增广目标函数$min\ F(X,M_t)=f(X)+M_t(P_1(X)+P_2(X))$，其中$M_t$为惩罚因子。

惩罚因子$M_t$随外层循环逐渐增大，在内层循环保持不变。

import numpy as np  
import random
import math

class SA:
    def __init__(self):
        self.tInit = 10000					# 初始温度
        self.tFinal = 1e-15					# 温度边界
        self.dt = 0.999 					# 降温系数
        self.markov = 100 					# 马尔可夫链长
        self.X = [1, 1, 1, 1]				# 变量
        self.xMin = [1, 1, 1, 1]			# 变量下限
        self.xMax = [5, 5, 5, 5]			# 变量上限
        self.F = 0  						# 目标函数值 							
        self.M = 1							# 惩罚因子
        self.delta = 1.01 					# 惩罚因子增长系数
        self.scale = 0.5  					# 内循环搜索步长
    def optimize(self, X):
        # 惩罚函数
        P0 = (min(0, X[0]*X[1]*X[2]*X[3]-25))**2
        P1 = (X[0]**2 + X[1]**2 + X[2]**2 + X[3]**2 - 40)**2 
        # 优化目标函数
        fx = X[0] * X[3] * (X[0] + X[1] + X[2]) + X[2]
        # 新的优化目标
        F = fx + self.M*(P0 + P1)
        return F
    def run(self):
        xNew = [1, 1, 1, 1]
        t = self.tInit
        self.F = self.optimize(self.X)
        while t > self.tFinal:
            for i in range(self.markov):
                v = random.randint(0, 3)
                xNew[v] = self.X[v] + self.scale*random.normalvariate(0, 1)
                while xNew[v] < self.xMin[v] or xNew[v] > self.xMax[v]:
                    xNew[v] = self.X[v] + self.scale*random.normalvariate(0, 1)
                fNew = self.optimize(xNew)
                if fNew < self.F:
                    self.F = fNew
                    self.X[:] = xNew[:]
                    # self.scale *= self.dt
                elif math.exp(-(fNew - self.F)/t) > random.random():
                    self.F = fNew
                    self.X[:] = xNew[:]
                # 减小搜索步长
                self.scale *= self.dt
            # 降温
            t *= self.dt
            # 增加惩罚因子
            self.M *= self.delta
    def display(self):
        print('X:', self.X)
        print('F(x)', self.F)
        print('opt', self.X[0] * self.X[3] * (self.X[0] + self.X[1] + self.X[2]) + self.X[2])
        print('M', self.M)

if __name__ == '__main__':
    sa = SA()
    sa.run()
    sa.display()

程序经过多次运行后筛选最优值为$x_1=2.0962,x_2=1.0982,x_3=1.4561,x_4=3.0498$，优化目标函数值为$31.187$。但是该结果与最优结果仍有较大差距，这说明程序有欠缺之处，也与模拟退火算法的随机性有关。